6. Операции над полиномами

Рассмотрим полином вида P_n(x)=p₁xⁿ+p₂x^n-1+...+p_nx+a_n+1. Соответственно будем обозначать Р - n+1-мерный вектор коэффициентов, Х - массив значений аргумента.

При вычислении значений полинома для элементов массива можно использовать функцию polyval(P,X):

>>polyval([1 2 5],[0 3 1]) ans = 5 20 8

>> polyval([1 2 5],[0 3 1; 1 1 1]) ans = 5 20 8 8 8 8

С помощью функции polyvalm(P,X) можно вычислять значения матричного полинома для квадратной матрицы Х :

>> polyvalm([1 2 5],[0 3 1; 1 1 1; 0 0 2])
ans =	8	9	7
	3	11	6
	0	0	13

Умножение полиномов С_m+n(x)=P_m(x) x Q_n(x) выполняется командой C=conv(P,Q) -

Деление полиномов можно реализовать командой [C,R]=deconv(A,B) , где С -частное и R - остаток от деления А на В.

>> conv([1 2 3],[5 6]) ans = 5 16 27 18

[c,r]=deconv([1 2 3],[5 6]) c = 0.2000 0.1600 r = 0 0 2.0400

Вычисление производных от полинома, произведения и отношения полиномов производится соответственно командами dp=polyder(P), dc=polyder(A,B) и [f,g]=polyder(A,B):

polyder([1 -2 3 4 5]) ans = 4 -6 6 4

>> polyder([1 2 3],[5 6]) ans = 15 32 27

>> [f,g]=polyder([1 2 3],[5 6]) f = 5 12 -3 g = 25 60 36

Вычисление корней полинома реализуется функцией roots(P), а построение полинома по его корням - функцией poly(R).

>> r=roots([1 3 5 7]) r = -2.1795 -0.4102 + 1.7445 i -0.4102 - 1.7445 i

>>poly(r) ans = 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000

Функция poly(А) обеспечивает построение характеристического полинома |lE-A|=0 (см. проблему собственных значений):

>> A= magic(3)
A =	8	1	6
	3	5	7
	4	9	2

>>P=poly(A)
P =
1.0e+002 *
0.0100	-0.1500	-0.2400	3.6000

В приложениях, особенно связанных с преобразованием Лапласа при решении дифференциальных уравнений, оперируют с отношениями полиномов и представлениями их в виде простых дробей:

,

где s_k - простые корни полинома Qn(s); если некоторый корень s_j имеет кратность m, то соответствующее слагаемое представляется в виде,

Команда [r,s,f] =residue(P,Q) дает разложение отношения полиномов на простые дроби (в случае близких корней возможна значительная погрешность). В случае кратного корня пользуются функцией rj=resi2(P,Q,sj,m,j), где j -номер вычисляемого коэффициента (по умолчанию j=m); по умолчанию m=1 (простой корень).

Команда [P,Q] =residue(r,s,f) выполняет обратное действие свертки разложения в отношение полиномов.

Выполнив действия

[r,s,f]=residue([1 -6 11 -6],[1 -5 4 0]) r = 0.5000 0 -1.5000 s = 4 1 0 f = 1

>> [A,B]=residue([0.5 0 -1.5],[4 1 0],[1]) A = 1 -6 11 -6 B = 1 -5 4 0

видим, что

В случае кратного корня

>>P=poly([1 2 3 ]) P = 1 -6 11 -6 >> Q=poly([0 0 0 6]) Q = 1 -6 0 0 0 >> [r,s,f]=residue(P,Q) r = 0.2778 0.7222 -1.6667 1.0000 s = 6 0 0 0 f = []

>>r1=resi2(P,Q,0,3,1) r1 = 0.7222 >>r2=resi2(P,Q,0,3,2) r2 = -1.6667 >>r3=resi2(P,Q,0,3,3) r3 = 1

видим разложение: